Topology and shape constraints on parametric active contours

In recent years, the eld of active contour based image segmentation has seen the emergence of two competing approaches. The rst and oldest approach represents active contours in an explicit (or parametric) manner corresponding to the Lagrangian formulation. The second approach represents active contours in an implicit manner corresponding to the Eulerian framework. After comparing these two approaches, we describe several new topological and geometrical constraints applied to parametric active contours in order to combine the advantages of these two contour representations. This paper proposes a framework for handling parametric active contours shape and topology in a more intuitive manner. More precisely, the following three algorithms are introduced: 1. Metric and Shape Control: a new internal force expression allows to regularize both vertex spacing and vertex smoothness. The smoothness constraint is enforced without producing any shrinkage. 2. Contour Resolution Control: the total number of contour vertices is periodically updated in order to constrain the distance between vertices. This approach is more e cient than performing any global reparameterization. 3. Topology Control: the connected components of a contour are automatically created or merged based on the detection of edge intersections. Our algorithm can handle opened and closed contours. Key-words: Deformable contour, topology, geometry, shape Contraintes topologiques et contraintes de forme des contours actifs paramétriques Résumé : Depuis quelques années, le domaine de la segmentation par contour actif a vu naître deux approches concurrentes. La première, quali ée de formulation lagrangienne, représente des contours actifs de manière explicite (ou paramétrique). La seconde, quali ée de formulation eulerienne, représente les contours de manière implicite. Après une comparaison de ces deux approches, nous proposons plusieurs contraintes topologiques et géométriques pour les contours actifs paramétriques qui combinent les avantages de ces deux représentations. Il est possible dans ce cadre de contrôler la forme et la topologie des contours actifs de manière plus intuitive. Plus précisément, nous décrivons trois algorithmes : 1. Contrôle de la métrique et de la forme : une nouvelle force interne permet de contrôler l'espacement entre les sommets et la régularité du contour. De plus, la contrainte de régularité qui est proposée évite le phénomène de rétrécissement de la courbe sur elle-même. 2. Contrôle de l'échantillonnage : le nombre total de sommets est périodiquement mis à jour de manière à contraindre la distance entre sommets. Cette approche est plus e cace qu'une reparamétrisation globale du contour. 3. Contrôle de la topologie : les composantes connexes du contour sont automatiquement créées ou fusionnées en fonction des intersections détectées entre di érentes arêtes. Notre algorithme peut prendre en compte des contours ouverts et fermés. Mots-clés : Contour déformable, topologie, géométrie, forme Topology and shape constraints on parametric active contours 3